Desarrollo matemático

Suponiendo una guía en la dirección z, siendo una onda monocromática (único ω y constante) el campo que se propaga en el interior en la dirección de la guía será de la forma:

 

Suponiendo que en el interior no hay cargas ni corrientes libres las ecuaciones de Maxwell tomarán la forma:






            

Y la ecuación de ondas aplicando la definición de los campos (el campo magnético tendría una forma análoga):
                    

Definiendo:

se tiene que las ecuaciones toman la forma de la ecuación de Helmholtz:

Descomponiendo el campo en componente longitudinal y transversal:

se puede separar de la ecuación de Helmholtz la componenete longitudinal obteniendo:

La función E_z o B_z que cumple unas ciertas condiciones de contorno impuestas por el tipo de guía se denomina potencial de Debye.

Modos TE y TM

Se tratará el caso de un modo TE, para el caso del modo TM tan solo hay que intercambiar en las expresiones el campo eléctrico y magnético. En un modo TE se tiene que:

También se tiene que:
 
                                               

de modo que:

                 

El campo B longitudinal será la solución de la ecuación de Helmholtz y el campo transversal puede obtenerse a partir de la anterior expresión. El campo eléctrico vendrá dado por las ecuaciones de Maxwell. Dependiendo de la naturaleza de la guía,B_z o E_z (cuyo desarrollo sería idéntico) han de cumplir unas ciertas condiciones de contorno.

Guía conductora

El sistema consiste en una región que se extiende simetricamente a lo largo del eje z limitada por un material conductor de espesor despreciable (un ejemplo de esto sería un cilindro hueco cuyos radios interior y exterior son practicamente iguales). Si el espesor del conductor es lo suficientemente pequeño y dado que la condición de confinamiento impone que los campos en el exterior sean nulos, por las ecuaciones de Maxwell se tiene que:
                                    

siendo un vector unitario normal a la superficie de la guía. La continuidad del campo eléctrico implicaría que no existen pérdidas por efecto Joule en el interior del conductor pero dado que tales condiciones son aproximaciones (dado que el espesor del conductor nunca será nulo), si existe una corriente superficial que produce tales pérdidas. Al margen de lo anterior, la corriente producida es lo suficientemente pequeña como para no invalidar el desarrollo empleado.