** !! CARTA DE SMITH !! **

La carta de Smith es una herramienta gráfica que permite la obtención de
diversos parámetros de las líneas de transmisión y la resolución de problemas de
adaptación de impedancias, evitando las operaciones con números complejos que suelen
implicar estos cálculos.
Desarrollada en 1939 por Phillip Hagar Smith en los Bell Telephone
Laboratories, debido a los problemas que tenía para calcular la adaptación de las
antenas debido a su gran tamaño, se trata de un diagrama polar especial que contiene
círculos de resistencia constante, círculos de reactancia constante, círculos de relación
de onda estacionaria constante y curvas radiales que representan los lugares geométricos
de desfase en una línea de valor constante.
La carta de Smith se puede utilizar para una variedad de propósitos incluyendo
la determinación de la impedancia, adaptación de la impedancia, optimización del ruido,
la estabilidad, etc.
Por tratarse de una relación gráfica entre la impedancia de entrada normalizada y
el coeficiente de reflexión del voltaje en el mismo punto de la línea, se pueden evitar los
laboriosos cálculos con números complejos para conocer la impedancia de entrada a la
línea o el coeficiente de reflexión, como veremos a continuación.

REPRESENTACIÓN DE IMPEDANCIAS.-
Si tenemos la siguiente línea de transmisión:

 

Recordemos la expresión del coeficiente de reflexión en la carga, Γ, en función
de ésta, ZL, y de la impedancia característica de la línea, Z0:

que se puede expresar en forma de módulo y fase , o como parte real e
imaginaria  

La impedancia de carga ZL, normalizada con respecto a la impedancia
característica de la línea Z0, también puede escribirse en sus partes real e imaginaria
como:

donde:
r es la resistencia normalizada
x es la reactancia normalizada

Por un lado, sobre el eje horizontal de la carta de Smith se encuentran las
resistencias, en medio está el valor 1, hacia la izquierda este valor va disminuyendo
hasta que en el extremo izquierdo vale 0 y hacia la derecha va creciendo hasta que en el
extremo derecho vale infinito. Sobre cada uno de esos valores de resistencia se puede
trazar un círculo que llega hasta el eje derecho, todo el círculo tiene el mismo valor de
resistencia.

Por otro lado, la parte reactiva de la impedancia se busca sobre unos
semicírculos que van desde el extremo derecho del círculo hasta algún punto del círculo,
si es positivo hacia la parte superior del círculo y si es negativo hacia la parte inferior
del círculo, como podemos ver en la figura:

La intersección de un círculo r y un círculo x define un punto que representa una
impedancia normalizada: r+jx. 

 Por ejemplo:
El punto P de la figura 1 representa la impedancia normalizada 0.5+j
Un cortocircuito, cc, se representa en el punto (-1, 0)
Un circuito abierto, ca, en el punto (1, 0).

OBTENCIÓN DEL COEFICIENTE DE
REFLEXIÓN Y ROE.-
La distancia de este punto al origen de coordenadas se corresponde con el
módulo del coeficiente de reflexión y el ángulo con respecto al eje real positivo se
corresponde con su fase, de manera que todas las impedancias que presenten el mismo
módulo del coeficiente de reflexión se situarán sobre un círculo centrado en el origen.
A la hora de tomar estas medidas nos encontraremos con que en la parte exterior
de la carta hay varias escalas. La más exterior es la escala "ángulo del coeficiente de
reflexión en grados", de manera que a partir de ésta se puede obtener directamente el
valor del argumento del coeficiente de reflexión.
Por ejemplo, el punto P(0.5, 1) se corresponde con un coeficiente de reflexión
0.62∠83º y en la figura se observa el círculo que representa 62.0=Γ.

Podremos obtener la razón de onda estacionaria (ROE) si recordamos la
expresión que la relaciona con el coeficiente de reflexión:

Observando que la ROE coincide con el valor de la impedancia normalizada
cuando la fase del coeficiente de reflexión es cero, es decir, la intersección del círculo
con el eje real positivo.

TRANSFORMACIÓN DE IMPEDANCIAS.-
 La transformación de impedancias producida a lo largo de la línea puede
deducirse observando los valores de r y x que se leen al desplazarse sobre círculos
centrados en la carta (espirales si hay pérdidas), ya que como sabemos, a medida que
nos desplazamos por una línea el valor de impedancia en cada punto considerado será
diferente (siempre y cuando la impedancia de carga no coincida con el valor de Zo).
La carta de Smith proporciona dos escalas adicionales sobre su perímetro en
Δz/λ (calibradas en longitudes de onda), una de ellas corre en el sentido de las
manecillas del reloj, denominada de longitudes de onda hacia el generador, de manera
que si se utiliza esta escala se estará avanzando hacia el generador, hacia la entrada de la
línea.
La otra escala corre en sentido contrario de las manecillas del reloj y se
denomina de longitudes de onda hacia la carga, indicando que si se utiliza esta escala se
estará avanzando hacia la carga, hacia el final de la línea (círculo amarillo de la figura).
La escala angular en el borde tiene divisiones de 1/500 de una longitud de onda
(0,72 grados) y la escala del coeficiente de reflexión se puede leer a una precisión de
0,02. Además, la carta es periódica con la longitud de onda, de periodicidad circular
λ/ 2.

Nótese que si se realiza una rotación de 0,5 λ que corresponde a 360° en el
gráfico se llega exactamente al mismo punto del gráfico lo que significa que cada 1/2 se
repite la impedancia. Este fenómeno es muy útil pues si se corta la línea de
alimentación de una antena en múltiplos de media onda, podemos efectuar mediciones
directas en el lado del generador sin tener que transformarlas para averiguar el
verdadero valor.

En una línea sin pérdidas, que se corresponde con la ecuación:

 

Un desplazamiento z’ se traduce en un cambio de fase del coeficiente de
reflexión, pero el módulo se mantiene constante. Por ejemplo, un desplazamiento de
z’=λ/8 supone un incremento de fase de +π/2 sobre el círculo de módulo constante.
En este sentido muy útil resultará el caso de un desplazamiento de un cuarto de
longitud de onda equivale a un cambio de fase de π radianes en el coeficiente de
reflexión, ya que el punto de la admitancia está diametralmente opuesto al de la
impedancia correspondiente.

CONVIRTIENDO IMPEDANCIAS EN ADMITANCIAS Y
VICEVERSA.‐
Una vez graficado el punto correspondiente a la Impedancia, basta trazar una
línea que, partiendo desde él y pasando por el centro, intersecte al círculo de Gamma
constante sobre el lado opuesto. En dicha intersección podremos leer directamente el
valor de Conductancia y Susceptancia.
 

Otras aplicaciones de la carta de Smith son en el cálculo del inverso de un
número complejo o el acoplamiento de las líneas de transmisión. Son tantas y tan
variadas las posibilidades que brinda, que solo tratar de mencionarlas haría extender
este documento mucho más allá de lo establecido.
Originalmente, la carta de Smith era una herramienta de diseño en papel. Más
recientemente, las actividades de RF se han convertido casi únicamente en una
cuestión de computadores. Sofisticadas herramientas de diseño asistido por ordenador
(CAD) han permitido incrementar significativamente la complejidad de los problemas
que pueden ser afrontados y el tiempo de diseño reducido. Sin embargo, el extendido
uso de las herramientas de CAD no ha reducido para nada el uso de cartas de Smith.
Los paquetes de software de diseño permiten que los resultados se muestren en
gráficos con este formato. De la misma manera, los analizadores de redes más
modernos también permiten visualizar resultados gráficamente en una carta de Smith.